10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları ve Cevapları (2026-2027)
1. KonuDik Üçgende Trigonometrik Oranlar · 8 soru
1.ABC üçgeninde A açısı 90°, |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm’dir.
a) Hipotenüsün uzunluğunu bulunuz.
b) B açısının sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini hesaplayınız.
a) Pisagor bağıntısından:
|BC| = √(62 + 82) = 10 cm
b) B açısının karşısındaki dik kenar AC, komşusundaki dik kenar AB’dir.
sin B = 8 / 10 = 4 / 5, cos B = 6 / 10 = 3 / 5, tan B = 8 / 6 = 4 / 3
2.Uzunluğu 10 metre olan bir merdiven, yatay zeminle 60° açı yapacak biçimde dik bir duvara dayanıyor.a) Merdivenin duvarda ulaştığı yüksekliği bulunuz.
b) Merdivenin alt ucunun duvara uzaklığını bulunuz.
a) Yükseklik, 60° açının karşısındaki dik kenardır.
h = 10 sin 60° = 10 · √3 / 2 = 5√3 m
b) Yatay uzaklık, açının komşusundaki dik kenardır.
x = 10 cos 60° = 10 · 1 / 2 = 5 m
3.Bir dik üçgenin dar açılarından biri α’dır.
tan α = 5 / 12
Buna göre sin α, cos α ve cot α değerlerini bulunuz. İşlemlerinizi gösteriniz.
Karşı dik kenar 5k, komşu dik kenar 12k alınır. Hipotenüs:
√((5k)2 + (12k)2) = 13k
Dolayısıyla:
sin α = 5 / 13, cos α = 12 / 13, cot α = 12 / 5
4.ABC üçgeninde A açısı 90°, |AB| = 9 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 15 cm’dir.
Bir öğrenci, B açısının sinüsünü aşağıdaki gibi hesaplıyor:
sin B = |AB| / |BC| = 9 / 15 = 3 / 5
a) Öğrencinin hatasını açıklayınız ve doğru sonucu bulunuz.
b) Öğrencinin bulduğu 3/5 değeri, B açısının hangi trigonometrik oranıdır?
a) Öğrenci, karşı dik kenar yerine komşu dik kenarı kullanmıştır. B açısının karşısındaki kenar AC’dir.
sin B = |AC| / |BC| = 12 / 15 = 4 / 5
b) Komşu dik kenarın hipotenüse oranını hesapladığı için bulduğu değer cos B’dir.
Dik üçgende trigonometrik oranlar ve özdeşlikler — devam
5.Bir dik üçgenin dar açılarından biri α’dır ve sin α = 3 / 5 olarak veriliyor.
a) sin2α + cos2α = 1 özdeşliğini kullanarak cos α değerini bulunuz.
b) tan α değerini hesaplayınız.
a)
cos2α = 1 − (3 / 5)2 = 1 − 9 / 25 = 16 / 25
α dar açı olduğundan kosinüsü pozitiftir:
cos α = 4 / 5
b)
tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3 / 4
6.ABC üçgeninde A açısı 90° ve sin B = 5 / 13 olarak veriliyor.
a) cos C değerini bulunuz.
b) sin C değerini hesaplayınız.
c) sin B ile cos C değerlerinin neden eşit olduğunu açıklayınız.
a) B ve C tümler açılardır:
cos C = sin B = 5 / 13
b)
sin C = cos B = √(1 − 25 / 169) = 12 / 13
c) B açısının karşısındaki dik kenar, C açısının komşusundaki dik kenardır. Hipotenüs de aynı olduğundan bu iki oran eşittir.
7.Bir rampanın başlangıcı ile bitişi arasındaki yatay uzaklık 8 metre, yükseklik farkı 2 metredir. Rampanın yatay zeminle yaptığı dar açı α’dır.a) tan α değerini bulunuz.
b) Rampanın uzunluğunu hesaplayınız.
c) Yatay uzaklık değişmeden yükseklik farkı 4 metreye çıkarılırsa α açısı nasıl değişir? Gerekçenizi yazınız.
a)
tan α = 2 / 8 = 1 / 4
b) Pisagor bağıntısından:
ℓ = √(82 + 22) = √68 = 2√17 m
c) Tanjant değeri 4 / 8 = 1 / 2 olur. Dar açılarda tanjant, açı büyüdükçe arttığından α açısı büyür.
8.Bir öğrenci, “Her dar açı için tanjant ile kotanjantın çarpımı 1’dir.” demektedir.
a) Karşı dik kenarı a, komşu dik kenarı b olan bir α açısı üzerinden öğrencinin iddiasını doğrulayınız.
b) tan α + cot α = 5 / 2 olduğuna göre tan2α + cot2α değerini bulunuz.
a)
tan α · cot α = a / b · b / a = 1
b) Toplamın karesi açılırsa:
(tan α + cot α)2 = tan2α + 2 tan α cot α + cot2α
25 / 4 = tan2α + 2 + cot2α
tan2α + cot2α = 17 / 4
2. KonuÜçgende Yardımcı Elemanlar · 4 soru
9.ABC üçgeninde AD, A açısının iç açıortayıdır. D noktası BC kenarı üzerindedir.
|AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm, |BC| = 15 cm
a) BD ve DC uzunluklarının oranını bulunuz.
b) BD ve DC uzunluklarını hesaplayınız.
a) İç açıortay teoreminden:
|BD| / |DC| = |AB| / |AC| = 8 / 12 = 2 / 3
b) |BD| = 2k ve |DC| = 3k alınır.
2k + 3k = 15 ⇒ k = 3
|BD| = 6 cm, |DC| = 9 cm
10.ABC üçgeninde D, BC kenarının orta noktasıdır. AD kenarortayı üzerindeki G noktası, üçgenin ağırlık merkezidir. |AG| = 10 cm’dir.a) GD ve AD uzunluklarını bulunuz.
b) ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını karşılaştırınız. Gerekçenizi yazınız.
a) Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler.
|AG| = 2|GD| ⇒ |GD| = 5 cm
|AD| = 10 + 5 = 15 cm
b) BD ve DC tabanları eşittir. Bu tabanlara ait yükseklikleri de ortak olduğundan:
A(ABD) = A(ACD)
11.ABC üçgeninde A açısı 90°’dir. D, hipotenüs olan BC kenarının orta noktası ve |BC| = 18 cm’dir.a) AD uzunluğunu bulunuz.
b) ADB üçgeninin kenarlarına göre türünü belirleyiniz.
a) Dik üçgende hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün yarısıdır.
|AD| = 18 / 2 = 9 cm
b) D orta nokta olduğundan |DB| = 9 cm’dir. Böylece |AD| = |DB| olur. ADB üçgeni ikizkenardır.
12.ABC üçgeninde |AB| = |AC| = 13 cm ve |BC| = 10 cm’dir. A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin ayağı H’dir.a) BH ve HC uzunluklarını bulunuz.
b) AH yüksekliğini hesaplayınız.
c) AH’nin yükseklik dışında hangi iki yardımcı eleman olduğunu yazınız.
a) İkizkenar üçgende tepe noktasından tabana indirilen yükseklik, tabanı iki eşit parçaya ayırır.
|BH| = |HC| = 5 cm
b) ABH dik üçgeninde:
|AH|2 + 52 = 132
|AH| = √(169 − 25) = 12 cm
c) AH, aynı zamanda kenarortay ve açıortaydır.
3. KonuÜçgenin Alanı · 4 soru
13.ABC üçgeninde BC kenarı 12 cm, bu kenara ait yükseklik 8 cm’dir.
a) Üçgenin alanını hesaplayınız.
b) Yükseklik değişmeden BC kenarının uzunluğu %50 artırılırsa yeni alan kaç santimetrekare olur?
a)
A = (12 · 8) / 2 = 48 cm2
b) Yeni taban uzunluğu 12 · 1,5 = 18 cm olur.
Ayeni = (18 · 8) / 2 = 72 cm2
Yükseklik sabitken taban %50 arttığı için alan da %50 artar.
14.Bir üçgenin taban uzunluğu iki katına çıkarılırken bu tabana ait yüksekliği yarıya indiriliyor.a) Üçgenin alanı nasıl değişir? İşlemle gösteriniz.
b) Taban ve yükseklik birlikte iki katına çıkarılsaydı alan kaç katına çıkardı?
a) İlk taban a, yükseklik h olsun.
Ailk = ah / 2
Ayeni = ((2a) · (h/2)) / 2 = ah / 2
Alan değişmez.
b)
Ayeni = ((2a) · (2h)) / 2 = 4 · ah / 2
Alan 4 katına çıkardı.
15.ABC üçgeninde D noktası BC kenarı üzerindedir. |BD| = 4 cm, |DC| = 6 cm ve ABD üçgeninin alanı 18 cm²’dir.a) ABD ve ADC üçgenlerinin alanları oranını bulunuz.
b) ABC üçgeninin alanını hesaplayınız.
a) Her iki üçgenin A köşesinden BC doğrusuna olan yüksekliği aynıdır. Alanları, taban uzunluklarıyla orantılıdır.
A(ABD) / A(ADC) = |BD| / |DC| = 4 / 6 = 2 / 3
b)
18 / A(ADC) = 2 / 3 ⇒ A(ADC) = 27 cm2
A(ABC) = 18 + 27 = 45 cm2
16.ABC üçgeninin A köşesi, BC doğrusuna paralel bir doğru üzerinde hareket ettiriliyor. B ve C noktalarının yerleri değişmiyor.
Bir öğrenci, “A köşesi B’den uzaklaştıkça üçgenin alanı mutlaka büyür.” diyor.a) Öğrencinin görüşünü değerlendiriniz.
b) BC kenarı 10 cm ve paralel doğrular arasındaki uzaklık 6 cm ise üçgenin alanını bulunuz.
Bir öğrenci, “A köşesi B’den uzaklaştıkça üçgenin alanı mutlaka büyür.” diyor.
a) Görüş yanlıştır. BC tabanı değişmez. A noktası paralel bir doğru üzerinde hareket ettiği için BC doğrusuna olan dik uzaklığı, yani yükseklik de değişmez. Bu nedenle alan sabit kalır.
b)
A = (10 · 6) / 2 = 30 cm2
4. KonuSinüs ve Kosinüs Teoremleri · 4 soru
17.ABC üçgeninde m(Â) = 30°, m(B̂) = 45° ve |BC| = 6 cm’dir.
a) Sinüs teoremini kullanarak AC uzunluğunu bulunuz.
b) AC ile BC kenarlarından hangisinin daha uzun olduğunu açıları kullanarak açıklayınız.
a) BC kenarı A açısının, AC kenarı B açısının karşısındadır.
|AC| / sin 45° = 6 / sin 30°
|AC| = (6 · (√2/2)) / (1/2) = 6√2 cm
b) 45° > 30° olduğundan büyük açının karşısındaki AC kenarı daha uzundur.
18.Bir parkın O noktasından başlayan iki düz yürüyüş yolu arasında 60° açı vardır. Yolların uç noktaları A ve B, |OA| = 5 metre ve |OB| = 8 metredir.A ile B arasındaki doğrusal uzaklığı kosinüs teoremiyle hesaplayınız.
|AB|2 = |OA|2 + |OB|2 − 2|OA| · |OB| cos 60°
|AB|2 = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1 / 2 = 49
|AB| = 7 m
19.ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |AC| = 7 cm ve |BC| = 8 cm’dir.
a) A açısının kosinüsünü hesaplayınız.
b) A açısının dar, dik veya geniş açı olduğunu gerekçesiyle belirtiniz.
a) Kosinüs teoreminden:
82 = 52 + 72 − 2 · 5 · 7 cos A
64 = 74 − 70 cos A ⇒ cos A = 1 / 7
b) Bir üçgenin iç açısı için kosinüsün pozitif olması, açının 90°’den küçük olduğunu gösterir. Dolayısıyla A dar açıdır.
20.ABC dar açılı üçgeninde A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin ayağı H’dir.
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |AH| = h
a) ABH ve ACH dik üçgenlerinden yararlanarak h yüksekliğini iki farklı şekilde ifade ediniz.
b) Bu eşitliklerden b / sin B = c / sin C bağıntısını elde ediniz.
a) ABH dik üçgeninde:
sin B = h / c ⇒ h = c sin B
ACH dik üçgeninde:
sin C = h / b ⇒ h = b sin C
b) Aynı yüksekliği ifade ettikleri için:
c sin B = b sin C
Her iki taraf sin B · sin C ile bölünürse:
b / sin B = c / sin C
5. Konuİki Kategorik Değişkenli Veriler · 4 soru
21.Bir okulda öğrencilerin sınıf düzeyleri ile okula ulaşım tercihleri arasında ilişki olup olmadığı araştırılacaktır. Ulaşım tercihleri “yürüyerek” ve “araçla” olarak kaydedilecektir.a) Bu araştırmaya uygun bir araştırma sorusu yazınız.
b) Araştırmanın iki kategorik değişkenini belirtiniz.
c) Yalnızca servis kullanan öğrencilerden veri toplanmasının neden uygun olmadığını açıklayınız.
a) “Okulumuzdaki öğrencilerin sınıf düzeyleri ile okula ulaşım tercihleri arasında ilişki var mıdır?”
b) Sınıf düzeyi ve okula ulaşım tercihidir.
c) Yürüyerek gelen öğrenciler araştırma dışında kalır. Bu nedenle toplanan veriler okulun bütün öğrencilerini temsil etmez.
22.Bir grup öğrencinin spor kulübüne katılma durumu ve düzenli kahvaltı yapma alışkanlığı aşağıdaki tabloda verilmiştir.Düzenli kahvaltı yapan Düzenli kahvaltı yapmayan Toplam Spor kulübüne katılan 24 6 30 Spor kulübüne katılmayan 18 12 30 Toplam 42 18 60
a) Spor kulübüne katılanların yüzde kaçı düzenli kahvaltı yapmaktadır?
b) Spor kulübüne katılmayanların yüzde kaçı düzenli kahvaltı yapmaktadır?
c) Bulduğunuz oranlara dayanarak iki grubu karşılaştırınız.
| Düzenli kahvaltı yapan | Düzenli kahvaltı yapmayan | Toplam | |
|---|---|---|---|
| Spor kulübüne katılan | 24 | 6 | 30 |
| Spor kulübüne katılmayan | 18 | 12 | 30 |
| Toplam | 42 | 18 | 60 |
a)
24 / 30 · 100 = % 80
b)
18 / 30 · 100 = % 60
c) Araştırmaya katılan öğrenciler arasında, spor kulübüne katılan grupta düzenli kahvaltı yapma oranı 20 yüzde puan daha yüksektir.
23.Bir okulda öğrencilerin seçtikleri kulüpler sınıf düzeylerine göre incelenmiştir.
Sınıf düzeyi Müzik kulübü Diğer kulüpler Toplam 9. sınıf 30 70 100 10. sınıf 20 20 40
Bir öğrenci, “Müzik kulübünü seçen 9. sınıf öğrencilerinin sayısı daha fazla olduğundan, 9. sınıflarda müzik kulübünü tercih etme oranı daha yüksektir.” diyor.a) Her sınıf düzeyinde müzik kulübünü tercih edenlerin yüzdesini hesaplayınız.
b) Öğrencinin yorumunu değerlendiriniz.
| Sınıf düzeyi | Müzik kulübü | Diğer kulüpler | Toplam |
|---|---|---|---|
| 9. sınıf | 30 | 70 | 100 |
| 10. sınıf | 20 | 20 | 40 |
a) 9. sınıflarda:
30 / 100 · 100 = % 30
- sınıflarda:
20 / 40 · 100 = % 50
b) Yorum yanlıştır. Grupların toplam öğrenci sayıları farklıdır. Müzik kulübünü seçenlerin sayısı 9. sınıfta fazla olsa da tercih oranı 10. sınıfta daha yüksektir.
24.Bir okul, hafta sonu açacağı atölyelerin saatlerini belirlemek için öğrencilerin tercihlerini araştırmıştır.Öğrenci grubu Sabah Öğleden sonra Toplam Spor takımında olan 12 28 40 Spor takımında olmayan 36 24 60
a) Her grupta öğleden sonrayı tercih edenlerin yüzdesini hesaplayınız.
b) Öğrenci grubu ile saat tercihi arasında ilişki bulunduğunu düşündüren bir bulgu yazınız.
c) Okul yönetimine verilere dayalı bir atölye planlama önerisi sununuz.
| Öğrenci grubu | Sabah | Öğleden sonra | Toplam |
|---|---|---|---|
| Spor takımında olan | 12 | 28 | 40 |
| Spor takımında olmayan | 36 | 24 | 60 |
a) Spor takımında olanlarda:
28 / 40 · 100 = % 70
Spor takımında olmayanlarda:
24 / 60 · 100 = % 40
b) Öğleden sonrayı tercih etme oranları gruplara göre farklıdır. Bu farklılık, araştırılan öğrencilerde iki değişken arasında ilişki olabileceğini düşündürür.
c) Spor takımındaki öğrencilere yönelik atölyeler ağırlıklı olarak öğleden sonra planlanabilir. Diğer öğrenciler için sabah seçeneği de sunulabilir.